食欲が止まらない娘が不安

我が家の2歳になるお嬢さん。とにかく食に対する要求が強い！常に何か食べ物を欲しがるんです。
もともと赤ちゃんの頃から、指しゃぶりをする子で、常に指が口の中。ずっと指しゃぶりも良くないなと気にはなっていました。
だんだん、動けるようになると指しゃぶりはなくなり、ホッとしていたのですが、気づいたら食べ物に対する執着が凄いことに・・・。
ご飯を食べ終わった直後から、何かくれくれと言わんばかりに騒ぎ出す。
言葉がまだ未熟だったので、何かを欲しがっているなと思い、指をさしている方向にある物（おもちゃなど）を、順番に一つずつ渡しても「違う」と言い、結局食べ物。
歩き出したと思ったら、どこからか食べ物の袋を引っ張り出してきて、開けてくれと要求する。
この状況で開けないと、かんしゃくを起こして、食べ物が手に入るまで泣き続ける。
食べ終わると、また要求。

食べる→要求のエンドレス。

口寂しいのでしょうか？常に何かを口に入れていたいのでしょうか？

娘と久しぶりに会った人は皆
「大きくなったね」
と言います・・・。
もちろん、背が伸びたという意味ではないのは親の私が一番わかっています。
親戚、友人、皆、気を使ってオブラートに包んだ言い方でこう言っているとわかります。

【小さい頃に脂肪の数を増やさないほうが良い】と聞き、心配なので、最近は野菜スティックなどを持たせているのですが・・・。

調べてみると、【食事以外の遊びに興味を持たせるよう工夫する】などのアドバイスがあり、挑戦しているのですが全然ダメ。

この食欲は誰に似たのだろう・・・。
娘が肥満にならないか、不安です。